已知1<a<2,x>=1,f(x)=(a^x+a^-x)/2,g(X)=(2^x+2^-x)/2

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/06 00:17:53
（1）比较f(X)与g(x）的大小，（2）N属于正整数．求证；F（1）+F（2）＋到F（2N）＜4＾N-1/2＾N帮忙！高一数学

(1)
2[f(x)-g(x)]=a^x+a^(-x)-2^x-2^(-x)
=a^x-2^x+1/a^x-1/2^x
=[(a^x-2^x)*(2a)^x+2^x-a^x]/(2a)^x
=[(a^x-2^x)*((2a)^x-1)]/(2a)^x

因为1<a<2,所以 a^x-2^x<0, (2a)^x-1>0,所以 2[f(x)-g(x)]<0,即 f(x)<g(x).

(2) 因为(1)中已证 f(x)<g(x)，所以
f(1)+f(2)+…+f(2n)<g(1)+g(2)+…+g(2n)
=[2+2^2+…+2^(2n)+(2^(-1)+2^(-2)…+2^(-2n))]/2
=[2(2^(2n)-1)/(2-1)+2^(-1)(1-2^(-2n))/(1-1/2)]/2
=[2*4^n-2+1-2^(-2n)]/2
=4^n-[1/2+1/2^(2n+1)]
=4^n-[2^(2n)+1]/2^(2n+1)
<4^n-[2根号(2^(2n)*1)]/2^(2n+1) （均值不等式)
=4^n-2^(n+1)/2^(2n+1)
=4^n-1/2^n.

也即 f(1)+f(2)+…+f(2n)<4^n-1/2^n.